Opinió

La rapidesa d’operacions matemàtiques: una activitat interessant?

Introducció: les sèries de rapidesa de càlcul

Actualment a força escoles es proposa un tipus d’activitats de càlcul mental, que, en argot escolar, les mestres acostumen a anomenar fer quinzet. Aquestes activitats tenen el seu origen en la proposta que en Lluís Segarra i jo mateix –el grup El Quinzet– vàrem elaborar i introduir a la dècada dels 80.

Consisteix en dues propostes:

• Les sèries de problemes de càlcul mental (càlcul global, en dèiem)
• Les sèries de rapidesa de càlcul.

Les sèries de rapidesa del Quinzet

En aquest article solament ens referirem a les sèries de rapidesa de càlcul. Consisteixen en fulls amb els quals es treballen les habilitats bàsiques: sumes, restes, multiplicacions i divisions bàsiques, donant un temps determinat (dos minuts és una bona proposta) per resoldre el full. Si els alumnes acaben abans, s’anota el temps que han tardat. Això ens donarà un índex d’operacions ben fetes per minut. Per als alumnes més lents i que no acaben el full, no penalitzen com incorrectes les no fetes.

Presenten l’avantatge que solament duren dos minuts, i representen un entrenament més en profunditat que un càlcul escrit llarg, que genera  una dinàmica passiva. En realitat treballen en la línia de preparar per càlculs més complexos, ja que aquests càlculs curts formen part i són la base que dóna consistència al càlcul algorísmic. Per exemple, en la divisió per una xifra, el més complicat és decidir en cada pas “a quant caben” (i això ho treballen les sèries) i posteriorment fer la resta (que també ho treballen).

En els últims anys aquest tipus de sèries ha rebut certa crítica, en el sentit que és un tipus d’activitat que posa en estat de tensió als alumnes, d’això en parlarem una mica més endavant.

L’origen de les sèries

Aquesta introducció de les sèries de càlcul al treball escolar en els 80, va ser una recuperació de la feina feta per Alexandre Galí, recollida en el seu llibre La mesura objectiva del treball escolar publicada a l’any 1928, i reeditada el 1984 per l’editorial Eumo i el primer a destacar és que les proposa com un sistema d’avaluació amb l’objectiu que els mestres facin un seguiment més acurat (o científic) dels aprenentatges dels nens de l’època. Consistia en quatre fulls, un per a cada “operació”. En la imatge podeu veure una reproducció del full de divisions:

Esperit de les sèries de rapidesa, ara

El nom de rapidesa pot tenir lectures diferents. En el cas del Quinzet, així com en el cas de Galí, aquesta activitat té un paper informatiu tant de cara al mestre, per anar sabent de manera senzilla els progressos de l’alumne, com per part de l’alumne en fer-se conscient dels aspectes o habilitats que li costen més.

És com a l’esport: no es tracta de ser el més ràpid, sinó de disposar d’un instrument que t’indica la teva millora, en quins punts t’encalles i, reflexionant sobre això, millorar els teus resultats.

Les defensem perquè sent una activitat que ocupa poc temps, aporta un instrument molt interessant: que un alumne  vagi lent en la prova de rapidesa, ens indica de que aquest alumne està utilitzant una estratègia poc eficient de càlcul. Amb aquesta informació els mestres poden ajudar a l’alumne, incidint en la millora de les seves estratègies.

Cal doncs, combinar l’execució de sèries, amb converses amb i entre alumnes sobre les diferents estratègies emprades. Per exemple: si en Joan, que per sumar 5+9 compta amb els dits, la Maite, que també hi compta, comenta que ella fa 9+5, que és més curt, segurament la rapidesa d’en Joan millorarà. Quan en Pere explica que ell suma 10 i en treu una, obre els ulls als companys a una nova estratègia molt més eficient.

Aprofitem doncs els “nombres petits” per tenir discussions “d’altura”, en les que deixem de fer càlcul per entrar a fer Matemàtiques ajudant a construir estratègies més eficients

Acabem amb tres idees generals:

• Fa més una discussió d’estratègies, formulada en el moment adequat que  “n” fulls de rapidesa sense reflexió.
• Quan un alumne que coneix la seva “velocitat” s’adona que canviant l’estratègia millora els resultats, viu un moment gratificant i crea una actitud positiva cap a la recerca d’estratègies noves.
• No són una activitat d’exercitació sinó d’avaluació

Les sèries de rapidesa al segle XXI

Ja fa uns quants anys que, al grup “Puntmat” ens vàrem plantejar ampliar la idea de sèries de rapidesa a nombres més grans o altres continguts. Podeu veure’n una mostra als fulls d’avaluació de sisè nivell de Primària de la col·lecció de quaderns d’Aritmètica “3×6.mat” (David Barba, Cecília Calvo, Editorial Barcanova) apareguda al 2005

Planteja dos tipus de sèries:

Sèries “clàssiques”, però que impliquen “nombres grans” (veure imatge)

Sèries que ho amplien a altres camps.

Presentem quatre blocs d’exemple. Cal tenir en compte que tres d’aquest blocs conformen un full. Es pot fer tot en una sessió llarga, o distribuir-ho en tres de curtes.

Un altres aspecte important és que s’aconsella als alumnes que repeteixin el mateix full cada 15 dies per a controlar els seus avenços.

Treball  del concepte de divisor/múltiple. Encara no s’han treballat els criteris de divisibilitat, però la discussió posterior sobre com ho han calculat ens pot fer arribar a institucionalitzar-ne alguns a partir de les estratègies i descobriments dels alumnes, com per exemple els de 2, 5 i 10.

Les discussions i conclusions  en aquest cas poden ser molt interessants per a establir criteris:

• De dos fraccions amb el mateix numerador, quina serà la més gran?
• I amb el mateix denominador?
• La majoria es poden solucionar aplicant els dos criteris anteriors. En cas de comparació entre enters i fraccions com 2 i 4/3, identificar el 2 amb 6/3 ens soluciona el problema, faran la connexió entre enter i fracció?
• Una altra estratègia per comparar 2 i 4/3 és connectar amb els decimals: 4/3 és 1,333…no arriba a 2.

Connectar tants per cent i fraccions és la clau de volta de molts càlculs: 10% en fraccions s’expressa en forma de fracció com 10/100  o sigui 1/10, i 20% com 20/100 o sigui 1/5 i això ens facilita els càlculs.

Estem treballant en el món de les connexions intramatemàtiques: per fer el 75% de 400, el millor és pensar que 75/100 és una fracció equivalent a 3/4, per tant cal fer la quarta part de 400 i multiplicar el resultat per 3.

Aquesta activitat pot donar molt joc per discutir de quina manera “li entrem” a cada exercici. En el cas del mcd, l’estratègia no consisteix en descompondre mentalment els dos nombres i veure quins són comuns sinó, per exemple, en buscar el divisor més gran del nombre petit, (inclòs ell mateix) i veure si és divisor del gran. Si ho és, ja estem i si no provem amb el següent, per exemple: mcd (12,8): 8 no ho és, 4 si, per tant 4 és el mcd.

Es pot arribar a altres conclusions més generals, per exemple:

• mcd(11,13): si els dos nombres són primers el mcd és 1 i el mcm és el seu producte
• Si un del nombres és divisor d’un altre per exemple (3,12) aleshores, el mcd és el petit i el mcm és el gran:

Proposta als mestres: incorporeu les sèries a alguns temes nous

Us convidem doncs, no solament a fer sèries d’operacions bàsiques, que també, sinó a inventar-ne de noves de diferents temes, per després aprofitar-ho per crear discussions d’estratègies entre alumnes treballant en grup.

Per acabar recordem que,  tot i que no ho sembli, les sèries de rapidesa no són una activitat d’exercitació, sinó una activitat d’avaluació compartida amb els alumnes, que pot guiar-los a millorar la seva eficàcia en el domini de les estratègies i les propietats que envolten els diferents conceptes i que ben portada serveix perquè parlin els nostres alumnes,  i així millorar.